Buku Matematikai X Bab Satu

Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari – hari dapat diselesaikan dengan
menggunakan konsep dan aturan matematika. Sebagai contoh, konsep eksponen
dan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan
dengan aritmatika sosial, peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain – lain.
Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan – permasalahan
yang diberikan pada bab ini. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang
diberikan, kamu diminta untuk mencermati objek-objek yang dilibatkan dalam
permasalahan yang diberikan tersebut.
1. Menemukan Konsep Eksponen
Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa
masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Tentu
saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan matematika yang melibatkan
eksponen. Dari beberapa model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah
penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan
mendiskusikan hasilnya dengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu
menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu sendiri.
Masalah-1.1
Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan
suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu,
satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan
menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri
dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri.
Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan
dan mencari tahu banyak bakteri pada akhir 8 jam.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui:
Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam.
Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian,
jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.
Ditanya:
a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.
b. Berapa jumlah bakteri pada akhir 8 jam.
4 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Semester 1
Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam.
Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0. Isilah tabel berikut!
Pada akhir t jam 0 1 .... .... .... ....
Jumlah bakteri (xt) x0 rx0 .... .... .... ....
Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan
pertumbuhan jumlah bakteri (xt) tersebut terhadap perubahan waktu (t).
x r r r r x t
t
= × × ×...× ×
faktor
0 atau secara ringkas ditulis
xt = rt x0...................................................................................... (1)
dengan t menyatakan banyak jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah
banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam.
Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan
setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula (1)
di atas, maka diperoleh x3 = r3x0 = 10.000 dan x5 = r5x0 = 40.000
x
x
r x
r x
r
r
5
3
5
0
3
0
2
40 000
10 000
4
4
2
=
=
=
=
.
.
Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri
setiap 1 jam
Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke
persamaan r3x0 = 10.000 sehingga 8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250.
Subtitusikan x0 = 1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut
dinyatakan
x
x
t
= t
=
=
1250 2
2 1250
320 000
8
8
.
( )( )
.
Jadi, pada akhir 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai
320.000 bakteri.
Dalam Masalah-1.1, ditemukan r2 = 4,
dan kemudian r = 2. Apakah r = –2 tidak
berlaku? Berikan alasanmu!
5 Matematika
Masalah-1.2
Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut
di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua
bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan
tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan
hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.
Alternatif Penyelesaian
Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak garis lipatan dengan
banyak bidang kertas yang terbentuk.
Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian
1 2 2 = 2
2 4 4 = 2 × 2
3 8 8 = 2 × 2 × 2
4 ... ...
... ... ...
n k ...
Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk
sebagai hasil lipatan bidang kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak
lipatan.
k dapat dinyatakan dalam n, yaitu
k(n) = 2n ........................................................................................ (2)
Coba kamu uji kebenaran persamaan k(n) = 2n dengan mensubtitusikan nilai n ke
persamaan tersebut.
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh
Dari persamaan (1) xt = rtx0, r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r.
Dari persamaan (2) k(n) = 2n, 2 adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari 2.
Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat
menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
6 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Semester 1
Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. Notasi an menyatakan
hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis an a a a a
n faktor
= × × × .. .× dengan a
sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai pangkat.
Definisi 1.1
Catatan:
1. Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1 cukup ditulis a.
2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0 dengan a bilangan real
menyatakan 1. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian?
3. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu dicermati
semesta variabel itu. Sebab an = a × a × ... × a sebanyak n faktor, ini hanya
berlaku ketika semesta n∈N.
Perhatikan Masalah-1.3 berikut!
Masalah-1.3
Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah
melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg
zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa dalam
darah setelah:
1) 1 jam?
2) 2 jam?
3) 3 jam?
4) Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melalui
ginjal!
5) Gambar pasangan titik (waktu, jumlah zat) pada koordinat kartesius untuk 8
jam pengamatan.
Alternatif Penyelesaian
Langkah awal isilah tabel berikut:
Waktu (t dalam jam) 1 2 3 4 5 6 7 8
Jumlah zat z(t) dalam mg 50 25 12,5 ... ... ... ... ...
Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan pasangan titik-titik tersebut
pada sistem koordinat kartesius (coba sendiri)!
7 Matematika
Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar-1.2) di bawah ini. Isilah nilai-nilai
fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.
0
4 2 2 4 x
2
2
4
4
6
y
f(x) = 3-x f(x) = 2-x f(x) = 2x f(x) = 3x
Gambar-1.2: Grafik Fungsi Eksponensial
x
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
f(x) = 2x
f(x) = 2-x
f(x) = 2x
f(x) = 3x
f(x) = 3-x
Latihan 1.1
Amati grafik (Gambar-1.2) di atas. Tuliskan sedikitnya 5 (lima) sifat grafik fungsi
tersebut dan disajikan hasilnya di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa
kita perlu mengetahui sifat-sifat tersebut.
8 Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Semester 1
2. Pangkat Bulat Negatif
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, didefinisikan
a
a
m
m
− =



1
Definisi 1.2
Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:
a
a a a a a
m
m
− =



=



×



×



× ×



1 1 1 1 ... 1
sebanyak faktor
faktor
m
m
m
a a a a
a


=
× × × ×
=
1
1
...